定期复利与连续复利

1. 定期复利与连续复利

一、名义利率、实际利率、连续复利

        当计息周期不是年，如何将其转化为年利率？在普通复利计算以及技术经济分析中，所给定或采用的利率一般都是年利率，即利率的时间单位是年，而且在不特别指明时，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次。在实际工作中，所给定的利率虽然还是年利率。

       由于计息周期可能是比年还短的时间单位，比如计息周期可以是半年、一个季度、一个月、一周或者为一天等等，因此一年内的计息次数就相应为2次、4次、12次、52次、或365次等等。这样，一年内计算利息的次数不止一次了，在复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息，因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。

       假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常称为“年利率12%，每月计息一次”。这个年利率12%称为“名义利率”。也就是说,名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息周期数的乘积。若按单利计算，名义利率与实际利率是一致的，但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应比12%略大些。为12.68%。

       例如，本金1000元，年利率为12％，若每年计息一次，一年后本利和为：F＝1000＊（1＋0.12／12）12＝1126.8（元）

            实际年利率i为：i=(1126.8-1000)/1000*100%=12.68%

            这个12.68%就是实际利率。

       在上例中，若按连续复利计算，实际利率为：i=e0.12-1=1.1257-1=12.75%

       设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周期的利率应为r／m，求一年后本利和、年利率？

       分析：单利方法：一年后本利和    F=P(1+i期×m) 利息    P×i期×m

                                                   年利率： P×i期×m / P = i期×m = r  

        复利方法：一年后本利和    F=P(1+i期) m  利息    P(1+i期) m - P

                                                    年利率：i = [ P(1+i期) m —P]/ P = (1+i期) m -1

       所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i =  (1+i期) m –1= (1+r/m) m –1

       当m＝l时，名义利率等于实际利率；

       当m＞1时，实际利率大于名义利率。

       当m → ∞时，即按连续复利计算时，i与r的关系为：  



       名义利率：非有效利率 ，是指按单利方法计算的年利息与本金之比。

       实际利率：有效利率，是指按复利方法计算的年利息与本金之比。

                         不同计息周期情况下的实际利率的计算比较

               计息周期    一年内计息周期数(m)   年名义利率(r)%    期利率(r/m)%    年实际利率(i)% 

                     年             1               12.00 (已知)       12.00          12.000

                    半年            2               12.00 (已知)       6.00           12.360

                    季度            4               12.00 (已知)       3.00           12.551

                    月              12              12.00 (已知)       1.00           12.683

                    周              52              12.00 (已知)       0.2308         12.736

                    日              365             12.00 (已知)       0.03288       12.748

                    连续计息        ∞              12.00 (已知)        → 0           12.750

 

                 从表中可知，复利计息周期越短，年名义利率与年实际利率差别越大，年实际利率越高。

          例3-7：某项工程四年建成，每年初向银行贷款100万元，年名义利率8%，每月计息一次，工程建成后应向银行偿还的本利和是多少。 

                 提示：(P)

                              m =12  r =8% 

                              i =(1+r/m)m –1 

                                =(1+8%/12)12 –1=8.3% 

                              F =A{[(1+i)n –1]/i}(1+i) 

                                =100×[(1.0834-1)/0.083]×1.083 

                                =490.18(万元) 

      例3-8：某个项目需投资10万元，若每年能回收投资2.4万元，按折现率10%计算，大约多少年能全部收回投资?

                提示：(P)

�6�1                                   P =10，A =2.4，i =10% 
                               且 P =A[(1+i)n-1]/[i(1+i)n] 
                                 Pi(1+i)n =A(1+i)n-A(1+i)n (A-Pi)=A(1+i)n =A/(A-Pi) 
                               ∴n =[㏒A-㏒(A-Pi)]/㏒(1+i) 
                                   =[㏒2.4-㏒(2.4-10×10%)]/㏒(1+10%) 
                                   =5.7(年) 
                               ∴ 大约六年可以全部收回投资。 
　
　

2. 连续复利年利率

折合每年计一次复利的年利率：（1+14%/4）的4次方-1=1.1475-1=14.75%连续复利年利率是什么东东?按我的理解，每季度计一次复利，连续N期后，折合年利率仍是14.75%.连续复利是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。拓展资料：复利就是复合利息，它是指每年的收益还可以产生收益，具体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算利息的本金基数，直到每一段的利息都计算出来，加总之后，就得出整个借贷期内的利息，简单来说就是俗称的利滚利。年利率是指一年的存款利率。所谓利率，是"利息率"的简称，就是指一定期限内利息额与存款本金或贷款本金的比率。通常分为年利率、月利率和日利率三种。年利率按本金的百分之几表示，月利率按千分之几表示，日利率按万分之几表示。当经济发展处于增长阶段时，银行投资的机会增多，对可贷资金的需求增大，利率上升;反之，当经济发展低靡，社会处于萧条时期时，银行投资意愿减少，自然对于可贷资金的需求量减小，市场利率一般较低。影响因素央行的政策一般来说，当央行扩大货币供给量时，可贷资金供给总量将增加，供大于求，自然利率会随之下降;反之，央行实行紧缩式的货币政策，减少货币供给，可贷资金供不应求，利率会随之上升。价格水平市场利率为实际利率与通货膨胀率之和。当价格水平上升时，市场利率也相应提高，否则实际利率可能为负值。同时，由于价格上升，公众的存款意愿将下降而工商企业的贷款需求上升，贷款需求大于贷款供给所导致的存贷不平衡必然导致利率上升。股票和债券市场如果证券市场处于上升时期，市场利率将上升;反之利率相对而言也降低。国际经济形势一国经济参数的变动，特别是汇率、利率的变动也会影响到其它国家利率的波动。自然，国际证券市场的涨跌也会对国际银行业务所面对的利率产生风险。